このブログでは、数学関連で自分が気になったことを気になったように書き綴っていこうと思います。 そう言いつつ高校生以下の数学で学習する話題がメインになると思います。 今のところ解説記事もかなり初学者向けに書いています。 少しでも多くの学生たちの…
本記事を読む前に，次の記事の内容を理解しているとスムーズに読み進められると思います。 shibiremath.hatenablog.com 本記事では，三角関数の方程式のうち最も簡単なものについて解説します。 早速次の例題を考えてみましょう。 例題1 次の についての方程…
本記事を読む前に，こちらの記事も合わせてお読みください。 shibiremath.hatenablog.com shibiremath.hatenablog.com 高校数学において，次の2つの式は三角関数の相互関係と呼ばれています。 三角関数の相互関係 本記事では，これらの公式とこれらから派生…
本記事では単位円を使った三角関数の定義について紹介しまたそれをもとに，三角関数の性質について解説します。 よりわかりやすい解説を目指し第1象限の角，第2，第3，第4象限の角，というようにそれぞれの場合について考えていきます。 定義 第1象限の場合 …
はじめに 円周率の復習 本題 弧度法 はじめに 小学校でも習うように，角度は一周を として測ります。これは度数法といって，最もよく知られている角度の測り方です。 一方で，より進んだ数学を学ぶとき角度の表現には度数法ではなく弧度法と呼ばれる方法が一…
角の意味を広くとらえる 一般角 例題 角の意味を広くとらえる 例えば，時計の針を12時の状態から始めて①12時半まで動かしたとき②2時半まで動かしたときそれぞれの場合で，長針のはじめの位置とのずれはどちらも ですが針の回転した量は違いますね。 12時半ま…
数学の問題を解いていると，ときどき のようにルートの中にルートの数があるような数に出くわすことがあります。 このような数の表記を二重根号と呼ぶことがあるのですが二重根号で表された数の一部はその形を回避することができます。本記事ではその手法に…
本記事を読む前に，こちらの記事も合わせて読んでおくことをおすすめします。 shibiremath.hatenablog.com はじめに 45°の三角比 30°，60°の三角比 30°，45°，60°以外の三角比 おわりに はじめに 三角比 について，角度によっては比較的簡単な形でその値を求…
本記事では，直角三角形を利用した三角比の定義を解説します。 まず三角比を理解するには，図形の「相似」について知っていることが重要です。 図形の相似 二つの図形A，Bがあって，一方の図形を拡大または縮小してもう一方の図形と合同になるとき，AとBは相…
「三角関数の合成」について自分なりに考えたことをまとめました。 次の公式は三角関数の合成と呼ばれ特に高校数学において重要とされる公式の一つです。 三角関数の合成 は実数とします。三角関数に関する次の式が成り立ちます。 \begin{align}a \sin \thet…
レベル1 レベル2 レベル3 もっと知りたい方へ レベル1 累乗と指数 同じ数や文字を複数個掛け合わせる計算を，累乗といいます。 を 個掛け合わせるとき， と書き， の 乗(えーのえぬじょう) と読みます。また， の にあたる数を底(てい)， にあたる数を 指数(…
この記事では，不等式を解くための具体的な操作についてはとくに触れないものとします。"不等式を解く"とはどういうことか比較的簡単な例をもとに解説します。 不等式 たとえば のように文字を含む不等式があるとき，その不等式が成り立つ文字の値をすべて求…
はじめに 等式について 方程式について 少し難しい？問題 はじめに この記事では，方程式を解くための具体的な操作についてはとくに触れないものとします。等式と方程式とはどういったものかということについて比較的簡単な例をもとに解説します。 等式につ…
前提知識 レベル1 レベル2 レベル3 最終問題 前提知識 平方完成をスムーズに理解するには の形の式の展開がよくできると良いです。 の展開の様子を丁寧に書けば\begin{align}(x+a)^2 &= (x+a)(x+a)\\&= x(x+a) + a(x+a)\\&= x^2 +xa +ax +a^2\\&= x^2 +2ax +…
有理化とは レベル1 レベル2 レベル3(高校生向け) 補足 有理化とは 有理化 分母に根号(ルート)を含む分数式を，分母に根号を含まない形に変形する操作を(分母の)有理化といいます。 有理化の操作で使っている性質は『分数の分母と分子に同じ数をかけてもその…
本記事を読むにあたって，こちらの記事も参考にしてください。 shibiremath.hatenablog.com shibiremath.hatenablog.com shibiremath.hatenablog.com 累乗根の性質 ， は正の整数とします。累乗根 について，次の性質が成り立ちます。 (1) (2) (3) (4) (5) …
本記事と合わせてこちらの記事も参考にしてください。 shibiremath.hatenablog.com shibiremath.hatenablog.com 突然ですが，クイズです。 クイズ【平方根と指数】 は，指数を使って表記できます。つまり， と表記でき，そのような数 が存在します。この に…
累乗根 を実数， を自然数とします。 乗して になる実数を， の 乗根といいます。これと同様に， 乗して になる実数を， の 乗根といいます。 乗根， 乗根， 乗根， をまとめて累乗根といいます。 乗根は平方根， 乗根は立方根とも言います( 乗根に関しては…
例題1 は でない実数とします。次の等式の ～ に当てはまる数を答えてください。 (1) (2) (3) (4) (5) たとえば は「2の4乗(じょう)」と読み のように 個の の積を表すのでした。「」 の の右上にある小さく書いた にあたる数を指数と言いますね。同様に， …
本記事と合わせてこちらの記事も参考にしてください。shibiremath.hatenablog.com shibiremath.hatenablog.com 例題1 次の についての不等式を解いてください。 「絶対値」とは何だったか考えてみましょう。ある数 の絶対値とは数直線上における に対応する…
本記事を読む前に，こちらの記事もぜひ参考にしてください。 shibiremath.hatenablog.com shibiremath.hatenablog.com shibiremath.hatenablog.com 例題1 の つの数字を並べてできる 桁の整数は何通りありますか。 これは，わざわざ紙に書かなくてもできるく…
本記事と合わせて，こちらの記事も参考にしてください。 shibiremath.hatenablog.com shibiremath.hatenablog.com さっそく例題から始めます。 例題1 とします。このとき の最小値を求めてください。 この式なら，ひとまず展開してから考えてみましょう。 例…
本記事と合わせて，こちらの記事も参考にしてください。 shibiremath.hatenablog.com 問題 次の不等式を証明してください。 ① を実数とするとき\begin{align}| |a|-|b| | \leqq |a-b|\end{align} ② を実数とするとき\begin{align}|a_1+a_2+a_3| \leqq |a_1|+…
三角不等式について気になったので調べたり考えたりしたことを備忘録的にまとめておきます。 三角不等式は，三角関数の項( など)が含まれる不等式のことではなくここでは次のような不等式を言います。 三角不等式 実数 について，次の不等式が成り立ちます。…
またまた友人から突然問題を出題されたので解いてみました。 今回の問題は次のとおりです。 突然の問題2 関数 について のように を 個入れ子にしたものを と表記します。このとき を と で表してください。ただし とします。 なるほど，関数の問題ってこと…
先日友人と話していたら、突然出題されたので解きました。 突然の問題1 で割ると 余り， で割ると 余り， で割ると 余るような正の整数で最小のものを求めてください。 よかった。友人のことなので突然難しい問題を出してくるかもと思いましたがどうやらそん…
証明したい内容は，次の通りです。 相加平均と相乗平均の大小関係 とします。このとき次の不等式が成り立ちます。 \begin{align}\frac{a+b}{2} \geqq \sqrt{ab}\end{align} また等号成立条件，つまり となるのは のときです。 本記事では(2数のときの)相加平…
相加平均と相乗平均の大小関係 とします。このとき次の不等式が成り立ちます。 \begin{align}\frac{a+b}{2} \geqq \sqrt{ab}\end{align} また等号成立条件，つまり となるのは のときです。 不等式の左辺 は 数 の相加平均です。相加平均は 個の値の合計を個…
本記事は，先にこちらの記事を読んでおくことをおすすめします。 shibiremath.hatenablog.com 例題1 次の についての方程式を解いてください。 「絶対値」が何を意味するのかを考えれば，すぐにわかります。この式は， という数の絶対値は である，ととらえ…
絶対値 実数 について，数直線上における原点から に対応する点までの距離を絶対値といいます。 の絶対値を，記号を用いて と表記します。 たとえば数直線上において，とを表す点は次のように位置します。 はよりだけ大きい数ですし，はよりだけ小さい数です…
