三角不等式にまつわる問題演習

本記事と合わせて，こちらの記事も参考にしてください。

shibiremath.hatenablog.com

問題

次の不等式を証明してください。

① $a,b$ を実数とするとき
\begin{align}
| |a|-|b| | \leqq |a-b|
\end{align}

② $a_i (i=1,2,3)$ を実数とするとき
\begin{align}
|a_1+a_2+a_3| \leqq |a_1|+|a_2|+|a_3|
\end{align}

③ $a_i (i=1,2,\cdots,n)$ を実数とするとき
\begin{align}
|a_1+a_2+\cdots+a_n| \leqq |a_1|+|a_2|+\cdots+|a_n|
\end{align}

①の解答
三角不等式 $|x+y| \leqq |x| + |y|$ において， $x=a-b,y=b$ とおけば
\begin{align}
|(a-b)+(b)| &\leqq |a-b|+|b|\\
|a| &\leqq |a-b|+|b|\\
|a|-|b| &\leqq |a-b| \tag{1}
\end{align}
を得ます。
同様に，三角不等式 $|x+y| \leqq |x| + |y|$ において $x=a-b,y=-a$ とおけば
\begin{align}
|(a-b)+(-a)| &\leqq |a-b|+|-a|\\
|-b| &\leqq |a-b|+|-a|\\
|b| &\leqq |a-b|+|a|\\
|b|-|a| &\leqq |a-b| \tag{2}
\end{align}
を得ます。
絶対値の定義
\begin{align}
|x| =\begin{cases}
x & (x \geqq 0) \cr
-x & (x \lt 0)
\end{cases}
\end{align}
から，
\begin{align}
||a|-|b|| =\begin{cases}
|a|-|b| & (|a| \geqq |b|) \cr
|b|-|a| & (|a| \lt |b|)
\end{cases}
\end{align}
とかけるので，式(1),(2)をまとめて， $| |a|-|b| | \leqq |a-b|$ となります。

②の解答

まず三角不等式 $|a_1+a_2| \leqq |a_1|+|a_2|$ が成り立ちます。
この不等式の両辺に $|a_3|$ を加えることで
$|a_1+a_2|+|a_3| \leqq |a_1|+|a_2|+|a_3| \tag{1}$
を得ます。

また三角不等式 $|x+y| \leqq |x| + |y|$ において $x=a_1+a_2,y=a_3$ とおけば
$|a_1+a_2+a_3| \leqq |a_1+a_2|+|a_3| \tag{2}$
を得ます。
式(1),(2)より $|a_1+a_2+a_3| \leqq |a_1|+|a_2|+|a_3|$ が成り立ちます。

③の解答

(i) $n=1$ のとき， $|a_1| \leqq |a_1|$ なので成り立ちます。
(ii) ついでに $n=2$ のとき， $|a_1+a_2| \leqq |a_1|+|a_2|$ は三角不等式そのものなので成り立ちます。

(iii) $n-1$ のとき，成り立つと仮定します。
すなわち $|a_1+a_2+\cdots+a_{n-1}| \leqq |a_1|+|a_2|+\cdots+|a_{n-1}|$ が成り立つとします。
この不等式の両辺に $|a_n|$ を加えて
$|a_1+a_2+\cdots+a_{n-1}|+|a_n| \leqq |a_1|+|a_2|+\cdots+|a_{n-1}|+|a_n| \tag{1}$
を得ます。
三角不等式 $|x+y| \leqq |x| + |y|$ において
$x=a_1+a_2+\cdots+a_{n-1},y=a_n$ とおけば
$|a_1+a_2+\cdots+a_{n-1}+a_n| \leqq |a_1+a_2+\cdots+a_{n-1}|+|a_n| \tag{2}$
を得ます。
式(1),(2)より， $|a_1+a_2+\cdots+a_n| \leqq |a_1|+|a_2|+\cdots+|a_n|$ が成り立ちます。
つまり $n-1$ において成り立つとき $n$ でも成り立ちます。