平方完成 - ぬうがくブログ

前提知識
レベル1
レベル2
レベル3
最終問題

前提知識

平方完成をスムーズに理解するには
$(x+a)^2$ の形の式の展開がよくできると良いです。
$(x+a)^2$ の展開の様子を丁寧に書けば
\begin{align}
(x+a)^2 &= (x+a)(x+a)\\
&= x(x+a) + a(x+a)\\
&= x^2 +xa +ax +a^2\\
&= x^2 +2ax +a^2
\end{align}
ですが，最初の $(x+a)^2$ の形を見て，最後の行がすぐにわかる程度だと良いです。
例えば， $\left(x+\displaystyle\frac{1}{2} \right) ^2$ を見て $x^2 +x +\displaystyle\frac{1}{4}$ がすぐに思い浮かぶくらいです。

それがわかるようにするためには，式をよく観察しましょう。
最初と結果だけ書くと $(x+a)^2 = x^2 +2ax + a^2$ です。
右辺の第1項は $x^2$ ，第3項は $a^2$ で，それぞれ $x$ と $a$ の $2$ 乗です。
第2項は $xa$ と $ax$ の和ですから $2ax$ ( $x$ と $a$ の積の $2$ 倍)です。

同じことを $\left( x+\displaystyle\frac{1}{2} \right)^2$ で考えてみると
第1項は $x^2$ ，第3項は $\left( \displaystyle\frac{1}{2}\right)^2 = \displaystyle\frac{1}{4}$
第2項は $2 \times x \times \displaystyle\frac{1}{2} = x$ ですから，結局
$\left(x+\displaystyle\frac{1}{2} \right) ^2 = x^2 +x + \displaystyle\frac{1}{4}$ になる，という具合です。

というわけで，まずは式の展開の問題から始めます。

例題1

次の各式を展開してください。

(1) $(x+3)^2$

(2) $(x-10)^2$

(3) $\left( a + \displaystyle\frac{2}{3} \right)^2$

(4) $\left( y - \displaystyle\frac{5}{4} \right)^2$

(5) $\left( x + \displaystyle\frac{5}{6} a \right)^2$

例題1の解答

(1) $(x+3)^2 = x^2 + 6x + 9$

(2) $(x-10)^2 = x^2 - 20x + 100$

(3) $\left( x + \displaystyle\frac{2}{3} \right)^2 = x^2 +\displaystyle\frac{4}{3}x + \displaystyle\frac{4}{9}$

(4) $\left( x - \displaystyle\frac{5}{4} \right)^2 = x^2 - \displaystyle\frac{5}{2}x + \displaystyle\frac{25}{16}$

(5) $\left( x + \displaystyle\frac{5}{6} a \right)^2 = x^2 + \displaystyle\frac{5}{3}a + \displaystyle\frac{25}{36}a^2$

では，いよいよ本題の平方完成に入ります。

レベル1

～ $x^2$ の係数が $1$ ， $x$ の係数が偶数のとき～

平方完成

$a,b,c,p,q$ は実数で $a \neq 0$ とします。

$x$ についての $2$ 次式 $ax^2+bx+c$ を，等式
\begin{align}
ax^2+bx+c = a(x-p)^2+q
\end{align}
の右辺の形に変形する操作を平方完成といいます。

といっても，言葉ではとてもわかりにくいと思うので，例を挙げましょう。

(例1):
$x^2+2x$ の平方完成を，次のように考えます。
\begin{align}
&　 x^2 + 2x\\
&= x^2 + 2x + 1 - 1\\
&= (x+1)^2 -1
\end{align}
(1行目):最初の式。もし $x^2+2x+1$ だと $x^2+2x+1 = (x+1)^2$ にできて嬉しい。
　　　　(ここを見破るのに $(x+a)^2$ の展開がよくできることが重要！)
(2行目):勝手に $1$ を足してはいけないので即座に同じ $1$ を引いて帳尻を合わせます。
(3行目):そして $x^2 + 2x +1$ の部分だけ変形します。

これで平方完成の操作完了です。
このように $2$ 次式を，( $1$ 次式) ${}^2 +$ (定数項) の形に変形することを目指します。

次の例を挙げます。

(例2):
$x^2-8x+1$ の平方完成を考えます。
\begin{align}
&　x^2 - 8x + 1\\
&= x^2 - 8x + 16 - 16 + 1\\
&= (x-4)^2 - 16 + 1\\
&= (x-4)^2 -15
\end{align}
(1行目):もし $x^2-8x+16$ だと $(x-4)^2$ にできて嬉しい。
(2行目):勝手に $16$ を足してはいけないので即座に $16$ を引いて帳尻を合わせます。
　　　　 $+1$ は特に気にせず置いておきましょう。
(3行目): $x^2 - 8x + 16$ の部分だけ変形します。
(4行目):定数項の部分を計算しました。

このように定数項はおまけだと思って， $2$ 次の項と $1$ 次の項に注目しましょう。

また上記の例1，例2の(2行目)のように
ある数を足して即座に同じ数を引くという部分について
突然都合の良い数がでてきた！と思ったり
そんな変形して良いの？と思う方もいるかもしれません。
しかし $+a-a=0$ ですから，この変形は実質 $0$ を足しているだけで
つまり値を一切変えていないので，正しい変形なのです。

例題2

次の式を平方完成してください。

(1) $x^2 + 6x$

(2) $x^2 - 10x + 7$

(3) $x^2 + 4x + a$ ( $a$ は実数)

例題2の解答

(1) $x^2 + 6x = (x+3)^2 -9$

(2) $x^2 - 10x + 7 = (x-5)^2 - 18$

(3) $x^2 + 4x + a = (x+2)^2 - 4 + a$

レベル2

～ $x^2$ の係数が $1$ ， $x$ の係数が偶数以外～

ここから少し難しくなります。

(例3):
\begin{align}
&　x^2 + 3x\\
&= x^2 + 3x + \frac{9}{4} - \frac{9}{4}\\
&= \left( x+\frac{3}{2} \right) ^2 - \frac{9}{4}
\end{align}
やることは，例1や例2と変わりません。
ただし $x^2 + 3x + \displaystyle\frac{9}{4} = \left( x+\frac{3}{2} \right)^2$ を見つけるのがやや難しいです。

次のように考えると良いです。
$(x+a)^2$ の形を作ることを考えたいので
$x^2 + 2ax + a^2 = (x+a)^2$ の式と
$x^2 + 3x$ (平方完成すべき式)を見比べます。

$x^2$ の係数はいずれも $1$ です。
$x$ の係数について $2a$ と $3$ が対応する(等しい)と考えると
$2a=3$ すなわち $a=\displaystyle\frac{3}{2}$ であれば良いとわかります。
$a=\displaystyle\frac{3}{2}$ ならば $a^2 = \displaystyle\frac{9}{4}$ ですから
$\displaystyle\frac{9}{4}$ を足して，すぐに引けば良いとわかります。(例3の2行目)

(例4):
\begin{align}
&　x^2 - \frac{2}{3}x + 1\\
&= x^2 - \frac{2}{3}x + \frac{1}{9} - \frac{1}{9} + 1\\
&= \left( x-\frac{1}{3} \right)^2 - \frac{1}{9} + \frac{9}{9}\\
&= \left( x-\frac{1}{3} \right)^2 + \frac{8}{9}\\
\end{align}

(例5):
\begin{align}
&　x^2 + kx - 2\\
&= x^2 + kx + \left( \frac{k}{2} \right)^2 - \left( \frac{k}{2} \right)^2 - 2\\
&= \left( x+\frac{k}{2} \right)^2 - \frac{k^2}{4} -2\\
&= \left( x+\frac{k}{2} \right)^2 - \frac{k^2}{4} -\frac{8}{4}\\
&= \left( x+\frac{k}{2} \right)^2 - \frac{k^2 + 8}{4}\\
\end{align}
(例3)のように
$x^2+2ax+a^2$ と
$x^2+kx$ を見比べて
$2a=k$ から $a=\displaystyle\frac{k}{2}$ を見破りましょう。

例題3

次の式を平方完成してください。

(1) $x^2+5x+5$

(2) $x^2-\displaystyle\frac{1}{4}x+3$

(3) $x^2+3kx+1$

例題3の解答

(1) $x^2+5x+5 = (x+\displaystyle\frac{5}{2})^2 -\frac{5}{4}$

(2) $x^2-\displaystyle\frac{1}{4}x+3 = \left( x-\displaystyle\frac{1}{8}\right)^2 +\frac{191}{64}$

(3) $x^2+3kx+1 = \left( x+\displaystyle\frac{3}{2}k \right)^2-\displaystyle\frac{9k^2-4}{4}$

レベル3

～ $x^2$ の係数が $1$ 以外のとき～

(例6):
\begin{align}
&　2x^2+8x+5\\
&= 2(x^2+4x)+5\\
&= 2(x^2+4x+4-4)+5\\
&= 2 \{(x+2)^2 - 4 \}+5\\
&= 2(x+2)^2 - 8 + 5\\
&= 2(x+2)^2 -3
\end{align}
$x^2$ の係数で式の一部をくくって
かっこの中で平方完成の操作をしてしまえば良いです。
ここで，例6の2行目において定数項の $5$ までかっこでくくっても良いのですが
その場合計算ミスをしやすくなってしまうので，私は例6のようなやり方が好きです。
(とくに4行目から5行目において，中かっこ $\{ \}$ の前にある $2$ を
中かっこの中にある $-4$ にかけるのを忘れるミスが多発しやすい！)

(例7):
\begin{align}
&　-3x^2 + 4x - 1\\
&= -3 \left( x^2 - \frac{4}{3} \right) - 1\\
&= -3 \left( x^2 - \frac{4}{3}x + \frac{4}{9} - \frac{4}{9} \right) - 1\\
&= -3 \left\{ \left( x-\frac{2}{3} \right)^2 - \frac{4}{9} \right\} - 1\\
&= -3 \left( x-\frac{2}{3} \right)^2 + \frac{4}{3} - 1\\
&= -3 \left( x-\frac{2}{3} \right)^2 + \frac{1}{3}
\end{align}

くくった後で分数になっても気にしません。

(例8):
\begin{align}
&　\frac{1}{2}x^2 + 3x\\
&= \frac{1}{2}(x^2+6x)\\
&= \frac{1}{2}(x^2+6x+9-9)\\
&= \frac{1}{2} \{ (x+3)^2 - 9 \}\\
&= \frac{1}{2}(x+3)^2 - \frac{9}{2}
\end{align}

例8の2行目のように分数でくくるのが苦手な人は多い印象です。
私は， $\displaystyle\frac{1}{2}x^2+3x =\frac{1}{2}(x^2+？x)$ まで考えて
右辺を展開して左辺に戻るように $(　　　)$ の中を決める
と考えることが多いです。
他にも， $(　　　)$ の中身の式はもとの式を $\displaystyle\frac{1}{2}$ で割ったもの
と考えても良いでしょう。

(例9):( $k \neq 0$ のとき)
\begin{align}
&　kx^2- 5x +1\\
&= k \left( x^2 - \frac{5}{k}x \right) + 1\\
&= k \left( x^2 - \frac{5}{k}x + \frac{25}{4k^2} - \frac{25}{4k^2} \right) + 1\\
&= k \left\{ \left(x-\frac{5}{2k} \right)^2 - \frac{25}{4k^2} \right\} +1\\
&= k \left(x-\frac{5}{2k} \right)^2 - \frac{25}{4k} +1
\end{align}
文字でくくるのだってなんのその。
最後に定数項の部分をまとめるか否かは好みの問題です。