絶対値記号を含む不等式 - ぬうがくブログ

本記事と合わせてこちらの記事も参考にしてください。shibiremath.hatenablog.com

shibiremath.hatenablog.com

例題1

次の $x$ についての不等式を解いてください。

$|x+3| \leqq 5$

「絶対値」とは何だったか考えてみましょう。
ある数 $x$ の絶対値とは
数直線上における $x$ に対応する点と原点との距離です。
言い換えると，ある数 $x$ の大きさと言ってもよいでしょう。

すなわち件の不等式 $|x+3| \leqq 5$ は
$x+3$ という数の大きさは， $5$ 以下である
という主張ととらえることができます。

そのような数 $x+3$ は数直線上のどの位置にあるでしょうか？

絶対値が $5$ 以下の数は，次の数直線の赤い部分にあります。

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また赤い部分にある数は何であっても，その大きさは $5$ 以下です。

したがって， $-5 \leqq x+3 \leqq 5$ であり
各辺から $3$ を引けば $-8 \leqq x \leqq 2$ となります。

例題1の解答

$-8 \leqq x \leqq 2$

では，こちらの不等式も，同様に考えてみてください。

例題2

次の $x$ についての不等式を解いてください。

$|x-2| \gt 4$

例題1のように考えると，例題2の不等式 $|x-2| \gt 4$ は
$x-2$ という数の絶対値は $4$ を超える
という主張ととらえることができます。

絶対値が $4$ を超える数は，次の数直線の赤い部分にあります。

f:id:shibiremath:20211014024758p:plain

ただし，数直線は画面に描ききれないだけで，本当は左右にいくらでも伸びていて
$-4$ より左側にあるすべての数， $4$ より右側にあるすべての数は
絶対値が $4$ を超える数であることに注意してください。

したがって， $x-2 \lt -4$ または $4 \lt x-2$ がいえます。
$x-2 \lt -4$ において両辺に $2$ を加えて $x \lt -2$
$4 \lt x-2$ において両辺に $2$ を加えて $6 \lt x$ となるので
不等式の解は $x \lt -2$ または $6 \lt x$ となります。

例題2の解答

$x \lt -2$ または $6 \lt x$

では，次のような問題だとどうでしょう。

例題3

次の $x$ についての不等式を解いてください。

$|x+3| \geqq 2x-1$

$x+3$ の絶対値は $2x-1$ 以上である…というのはわかりづらいですね。
例題1,2のように右辺が定数ならよかったのですが，そうではないので
ここは絶対値の定義に従って，場合分けするのが良いです。
絶対値の数式による定義は，他のページでも記載しましたが次の通りでした。
(問題中の $x$ との混同を避けるため，文字を $a$ に変えています)