累乗根 - ぬうがくブログ

累乗根

$a$ を実数， $n$ を自然数とします。
$2$ 乗して $a$ になる実数を， $a$ の $2$ 乗根といいます。これと同様に，
$n$ 乗して $a$ になる実数を， $a$ の $n$ 乗根といいます。
$2$ 乗根， $3$ 乗根， $4$ 乗根， $\cdots$ をまとめて累乗根といいます。
$2$ 乗根は平方根， $3$ 乗根は立方根とも言います( $2$ 乗根に関しては，平方根と呼ぶことが多いです)。

例を考えてみましょう。

(例1)
$3^2 = 9$ なので， $3$ は $9$ の平方根です。
また $(-3)^2 = 9$ なので， $-3$ も $9$ の平方根です。

(例2)
$2^3 = 8$ なので， $2$ は $8$ の $3$ 乗根(立方根)です。

(例3)
$(-2)^3 = -8$ なので， $-2$ は $-8$ の $3$ 乗根(立方根)です。

同じように， $4$ 乗根や $5$ 乗根の例も考えてみてください。

例題1

次の値を答えてください。答えが複数あるものは，全て答えてください。

(1) $36$ の平方根

(2) $10000$ の $4$ 乗根

(3) $-32$ の $5$ 乗根

(4) $\displaystyle\frac{1}{125}$ の $3$ 乗根

(5) $0.216$ の $3$ 乗根

お手元の紙などに書いて確かめながら考えてみてください。

例題1の解答

(1) $6,-6$

(2) $10,-10$

(3) $-2$

(4) $\displaystyle\frac{1}{5}$

(5) $0.6$
[解説] $0.6^3=0.216$ です。
または， $0.216=\displaystyle\frac{216}{1000}=\displaystyle\frac{27}{125}$ として，その $3$ 乗根なので $\displaystyle\frac{3}{5}(=0.6)$ と考えてもよいでしょう。

次に，累乗根の記号について紹介します。

累乗根の記号 $\sqrt[n]{a}$

$a$ を正の実数， $n$ を自然数とします。
$n$ 乗して $a$ になる数を $a$ の $n$ 乗根といい， $\sqrt[n]{a}$ と書きます。
すなわち $\sqrt[n]{a}$ とは， $x$ についての方程式 $x^n=a$ の解の $1$ つであり，
$(\sqrt[n]{a})^n=a$ が成り立ちます。

ただし，慣用的に平方根の場合はあえて $\sqrt[2]{a}$ と書かずに，単に $\sqrt{a}$ と書くことが多いです。

これも例を考えてみましょう。

(例4)
$4^2=16$ なので， $\sqrt{16}=4$ です。

(例5)
$\left( \displaystyle\frac{2}{3} \right)^3 = \displaystyle\frac{8}{27}$ なので， $\sqrt[3]{\displaystyle\frac{8}{27}}=\displaystyle\frac{2}{3}$ です。

(例6)
$\sqrt[3]{5}$ は $5$ の $3$ 乗根なので， $(\sqrt[3]{5})^3=5$ です。
$\sqrt[3]{5}$ はどんな値かというと，iPhoneの電卓機能によれば

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だそうです。
試しに $1.71^3$ を電卓で計算してみて， $5$ に近い値になることを確認してみてください。
ただしこれは表示できる桁数の都合上，有限の小数に見えるだけで
本当はこの先もずっと続く無限小数です。 $\sqrt[3]{5}$ は無理数です。

注意すべきこと

たとえば $16$ の平方根は $+4$ と $-4$ の $2$ つありますが
$\sqrt{16}$ と書いたときは $16$ の平方根のうち正のほうを指します。
すなわち $\sqrt{16}=+4$ であり， $\sqrt{16}=-4$ とはしません。

もっと一般的に， $a$ を正の実数， $n$ を正の偶数とするとき
$a$ の $n$ 乗根は正のものと負のものの $2$ つあります。
そのうち正のほうを $\sqrt[n]{a}$ と表し，負のほうは $-\sqrt[n]{a}$ と表すのです。

例題2

次の各式の $X$ に当てはまる数を答えてください。

(1) $\sqrt[3]{\displaystyle\frac{1}{64}}=X$

(2) $0.1=\sqrt[4]{X}$

(3) $5=\sqrt[X]{125}$

(4) $(\sqrt[5]{7})^X=7$

(5) $(\sqrt[3]{5})^6=X$

一旦スクロールを止めて，考えてみてください。

例題2の解答

(1) $X=\displaystyle\frac{1}{4}$

(2) $X=0.0001$

(3) $X=3$

(4) $X=5$

(5) $X=25$
\begin{align}
(\sqrt[3]{5})^6&=\sqrt[3]{5} \times \sqrt[3]{5} \times \sqrt[3]{5} \times \sqrt[3]{5} \times \sqrt[3]{5} \times \sqrt[3]{5}\\
&=(\sqrt[3]{5} \times \sqrt[3]{5} \times \sqrt[3]{5}) \times (\sqrt[3]{5} \times \sqrt[3]{5} \times \sqrt[3]{5})\\
&=5 \times 5\\
&=25
\end{align}