同じものを含む順列の考え方

本記事を読む前に，こちらの記事もぜひ参考にしてください。

shibiremath.hatenablog.com

例題1

$1,2,2,2$ の $4$ つの数字を並べてできる $4$ 桁の整数は何通りありますか。

これは，わざわざ紙に書かなくてもできるくらい簡単ですね。

例題1の解答

$1222,2122,2212,2221$ の $4$ 通りです。

では，こうするとどうでしょう。

例題2

$1,2,3,3$ の $4$ つの数字を並べてできる $4$ 桁の整数は何通りありますか。

お手元に紙など用意して考えてみてください。

例題2の解答

次の $12$ 通りです。

1233	1323	3123	1332	3132	3312
2133	2313	3213	2331	3231	3321

例題2についてもう少し細かく考えてみましょう。
同じものを含む順列は，そうでないときに比べて
総数は少ないのにかえってややこしくなることがあります。

しかし，すべて異なるものの順列の考え方をもとに考えることで
同じものを含む順列を考えることができます。

そのために，次の問題を考えます。

例題3

$1,2,3,4$ の $4$ つの数字を並べてできる $4$ 桁の整数は何通りありますか。

簡単な計算でできるのですが，ここではあえてすべての場合を書き出してみましょう。

例題3の解答

次の $24$ 通りです。

1234	1324	3124	1342	3142	3412
1243	1423	4123	1432	4132	4312
2134	2314	3214	2341	3241	3421
2143	2413	4213	2431	4231	4321

ところで今後の説明のために，解答の表はある規則に従って並べているので
皆さんが書いた順番と違っていて見づらいかもしれません。悪しからず。

さて，例題2では $1,2,3,3$ の $4$ つの数字による順列を
例題3では $1,2,3,4$ の $4$ つの数字による順列を考えました。
例題3をもとに例題2を考えるには・・・
たとえば，例題3において「 $4$ 」をすべて「 $3$ 」に置き換えてみましょう！

例題3の解答の表の，「 $4$ 」をすべて「 $3$ 」に置き換えると
表は次のようになります。

1234	1324	3124	1342	3142	3412
1243	1423	4123	1432	4132	4312
2134	2314	3214	2341	3241	3421
2143	2413	4213	2431	4231	4321

↓「 $4$ 」をすべて「 $3$ 」に置き換える↓

1233	1323	3123	1332	3132	3312
1233	1323	3123	1332	3132	3312
2133	2313	3213	2331	3231	3321
2133	2313	3213	2331	3231	3321

この操作によって，例えば $1234$ と $1243$ はどちらも $1233$ に置き換わりました。
そして，例題2の表と見比べてみてください。

1233	1323	3123	1332	3132	3312
2133	2313	3213	2331	3231	3321

どうでしょうか。
例題2の表にある $12$ 通りの数のすべてが，
置き換えた後の例題3の表に，ちょうど $2$ つずつ現れています。

例題3において，例えば $1234$ と $1243$ のように
$3$ と $4$ が入れ替わっただけの関係にある数が置き換える操作によって
同じ $1233$ という数に対応する，つまり $2$ 対 $1$ に対応するのです。

したがって， $1,2,3,3$ の $4$ つの数でつくる順列の総数は
$1,2,3,4$ の $4$ つの数で作る順列の総数の半分になります。

よって例題2について $4! \div 2 = 12$ と求めることができます。

では，次の問題を考えてみてください。

例題4

$1,2,3,3,3$ の $5$ つの数字を並べてできる $5$ 桁の整数は何通りありますか。

先の例題2の考え方でやってみましょう。

まず， $1,2,3,4,5$ の $5$ つの数字を並べてできる $5$ 桁の整数は
$5!=120$ (通り) あります。

そのうちの一つ，たとえば $54321$ において「 $4$ 」と「 $5$ 」を「 $3$ 」に置き換えると
$33321$ という整数になります。
しかし，同様の操作で $33321$ になる整数は他にもあり，具体的には
$54321 \\53421 \\45321 \\43521 \\34521 \\35421$
の $6$ つがそうです。
いま挙げた例のように， $3,4,5$ の位置が入れ替わっただけの関係にある $6$ つが
ある一つの整数に対応，つまり $6$ 対 $1$ に対応します。
なお，この $6$ という数は，まさに $3$ つの異なるものでつくる順列の総数ですね。

そういうわけで，例題4の解答は
$5! \div 3! = 20$ (通り) となります。

例題4の解答

$5! \div 3! = 20$ で $20$ 通りです。

次で最後の問題です。

例題5

$1,1,2,2,2$ の $5$ つの数字を並べてできる $5$ 桁の整数は何通りありますか。

ぜひとも，スクロールをいったん止めて考えてみてください。

それでは，例題5の解説です。

まず， $1,2,3,4,5$ の $5$ つの数字を並べてできる $5$ 桁の整数は
$5!=120$ (通り) あります。

ここで，「 $3$ 」を「 $1$ 」に置き換える操作をして
$1,1,2,4,5$ の $5$ つの数字を並べてできる整数を考えてみると
たとえば $13245$ と $31245$ の二つが同じ $11245$ に対応することから
そのような整数は $5! \div 2 = 60$ (通り) あるとわかります。

さらにここから「 $4$ 」と「 $5$ 」を「 $2$ 」に置き換える操作をすると
先の $60$ 通りのうち
$11245 \\11254 \\11425 \\11452 \\11524 \\11542$
の $6$ つはすべて $11222$ という整数になります。
このように $6$ つの整数が $1$ つの整数に対応し
他の整数についても同様に考えられるので
例題5の解答は
$5! \div 2 \div 3!=10$ (通り) となります。

例題5の解答

$5! \div 2 \div 3!=10$ で $10$ 通りです。

ちなみに，次のような考え方をすることもできます。

例題5の別解

まず， $1,1,1,1,1$ の $5$ つの数字を並べてできる整数は
当然ながら $11111$ の $1$ (通り) しかありません。

ここで，この $5$ つの「 $1$ 」のうち $3$ つを「 $2$ 」に置き換えることを考えます。
一，十，百，千，万のそれぞれの位のうち
どの $3$ つの位の「 $1$ 」を「 $2$ 」に置き換えるかを考えると
その選び方は ${}_5\mathrm{C}_3 = 10$ (通り) あります。