三角関数の方程式1 - ぬうがくブログ

本記事を読む前に，次の記事の内容を理解していると
スムーズに読み進められると思います。

shibiremath.hatenablog.com

本記事では，三角関数の方程式のうち
最も簡単なものについて解説します。

早速次の例題を考えてみましょう。

例題1

　次の $\theta$ についての方程式を解いてください。ただし $( 0 \leqq \theta \leqq 2 \pi )$ とします。
\begin{align}
\sin \theta = \frac{1}{2}
\end{align}

問題を考えるときは，まず定義に従って
問題の意味を考えることが大事です。
原点を中心とする半径 $1$ の円周上の点 $P$ について
その $y$ 座標を $\sin \theta$ とするのでしたね。

つまりこの問題は
「そのような点 $P$ の $y$ 座標が $\displaystyle\frac{1}{2}$ になるのは
角 $\theta$ がいくらのときでしょう？」
という意味だと考えることができます。

図で表すと，次のような角 $\theta$ を求めることになります。
ここで，角 $\theta$ の候補は $2$ つあることに注意しましょう。
図の緑色をつけた角 $\theta _1$ と，赤色をつけた角 $\theta _2$ です。

まず $\theta _1$ について考えます。 $\triangle P_1 O H_1$ は次の図の $\triangle ABC$ と相似です。

　　　
したがって角 $\theta _1$ は $\displaystyle\frac{1}{6} \pi (= 30^{\circ})$ とわかります。
一方 $\theta _2$ については， $\triangle P_2 O H_2$ が先の $\triangle ABC$ と相似ですから
$\angle P_2 O H_2 = \displaystyle\frac{1}{6} \pi$ となり，したがって $\theta _2 = \displaystyle\frac{5}{6} \pi (= 150^{\circ})$ とわかります。

例題1の解答

$\theta = \displaystyle\frac{1}{6} \pi, \frac{5}{6} \pi$

では， $\cos$ の場合も解いてみましょう。

例題2

　次の $\theta$ についての方程式を解いてください。ただし $( 0 \leqq \theta \leqq 2 \pi )$ とします。
\begin{align}
2 \cos \theta = 1
\end{align}

先ほどと同じように考えてみましょう。

おっと，その前に式の両辺を $2$ で割って
$\cos \theta = \displaystyle\frac{1}{2}$ としておきましょう。

原点を中心とする半径 $1$ の円周上の点 $P$ について
その $x$ 座標を $\cos \theta$ とするのでした。
ということは，次の図のような位置の角 $\theta$ を求めることになります。
ここでも，候補が2つあることに注意しましょう。

$\triangle P_1 O H$ は次の $\triangle ABC$ と相似です。
　　　
したがって角 $\theta _1$ は $\displaystyle\frac{1}{3} \pi (=60^{\circ})$ とわかります。
一方 $\theta _2$ についても同様に考えると， $\triangle P_2 O H$ が先の $\triangle ABC$ と相似なので
$\angle P_2 O H = \displaystyle\frac{1}{3} \pi$ であり，したがって $\theta _2 = \displaystyle\frac{5}{3} \pi$ とわかります。