絶対値記号を含む方程式 - ぬうがくブログ

本記事は，先にこちらの記事を読んでおくことをおすすめします。

shibiremath.hatenablog.com

例題1

次の $x$ についての方程式を解いてください。

$|x+3|=5$

「絶対値」が何を意味するのかを考えれば，すぐにわかります。
この式は， $x+3$ という数の絶対値は $5$ である，ととらえることができます。
そうすると， $x+3$ の値は $5$ か $-5$ のいずれかです。
したがって， $x+3=5$ だとすれば $x=2$ ですし
また， $x+3=-5$ だとすれば $x=-8$ です。

例題1の解答

$x=2$ または $x=-8$

続けて，次の問題です。

例題2

次の $x$ についての方程式を解いてください。

$|x+3|=|x-5|$

一般に， $|x-\alpha|$ といえば
数直線上における $x$ と $\alpha$ に対応する2点の距離ですから
与えられた式について

\begin{align}
|x+3|&=|x-5|\\
|x-(-3)|&=|x-5|
\end{align}

と変形することによって，この等式は
「 $x$ と $-3$ の距離」と「 $x$ と $5$ の距離」が等しい。
つまり， $x$ は $-3$ と $5$ の双方からの距離が等しい値ととらえることができます。

f:id:shibiremath:20210516005401p:plain
ということは， $x$ は $-3$ と $5$ のちょうど真ん中にある数ですから $x=1$ です。
これをもとの式に代入すれば

\begin{align}
|1+3|&=|1-5|\\
|4|&=|-4|\\
4&=4
\end{align}

となり，確かに $x=1$ は方程式の解とわかります。

例題2の解答

$x=1$

では，次のような問題ではどうでしょうか。

例題3

次の $x$ についての方程式を解いてください。

$2x+|x+3|=|x-5|$

このような問題だと例題1，2のように意味を考えて解くのはやや難しいので
定義に従って処理するのが良いでしょう。

絶対値の定義から， $0$ 以上の数の絶対値はその数自身
負の数の絶対値はその数に $-1$ をかけたものになるので
絶対値の記号で囲まれた数が， $0$ 以上かそうでないかで場合分けしましょう。

この場合， $x+3$ と $x-5$ のそれぞれについて
$0$ 以上の値をとるか否かを考える必要があります。
よって，場合分けは多くて次の4通りになります。

ケース1	$x+3 \geqq 0$ かつ $x-5 \geqq 0$
ケース2	$x+3 \geqq 0$ かつ $x-5 \lt 0$
ケース3	$x+3 \lt 0$ かつ $x-5 \geqq 0$
ケース4	$x+3 \lt 0$ かつ $x-5 \lt 0$

しかしながら， $x+3$ よりも $x-5$ のほうが大きいことはあり得ないので
ケース3は無くなり，場合分けは次の3通りで済みます。

ケース1	$x+3 \geqq 0$ かつ $x-5 \geqq 0$
ケース2	$x+3 \geqq 0$ かつ $x-5 \lt 0$
ケース*	$x+3 \lt 0$ かつ $x-5 \geqq 0$
ケース3	$x+3 \lt 0$ かつ $x-5 \lt 0$

いよいよ，それぞれの場合について考えていきましょう。

(ケース1) 　 $x+3 \geqq 0$ かつ $x-5 \geqq 0$ のとき (つまり $x \geqq 5$ のとき)

$x+3$ ， $x-5$ はいずれも $0$ 以上の数ですから，次のように変形すれば良いです。

\begin{align}
2x+|x+3|&=|x-5|\\
2x+x+3&=x-5\\
2x&=-8\\
x&=-4\\
\end{align}

となりますが， $x \geqq 5$ である前提ですから， $x=-4$ は解として適しません。
実際， $x=-4$ を代入してみると
\begin{align}
2\times(-4)+|-4+3|&=|-4-5|\\
-8+|-1|&=|-9|\\
-7&=9\\
\end{align}

となり，確かに $x=-4$ は解ではありません。
よってこの場合は解なしとなります。

(ケース2)　 $x+3 \geqq 0$ かつ $x-5 \lt 0$ のとき (つまり $-3 \leqq x \lt 5$ のとき)

\begin{align}
2x+|x+3|&=|x-5|\\
2x+x+3&=-(x-5)\\
4x&=2\\
x&=\frac{1}{2}\\
\end{align}

$-3 \leqq \displaystyle\frac{1}{2} \lt 5$ ですから， $x=\displaystyle\frac{1}{2}$ は方程式の解です。
代入して確かめてみると

\begin{align}
2\times\frac{1}{2}+\left|\frac{1}{2}+3\right|&=\left|\frac{1}{2}-5\right|\\
1+\left|\frac{7}{2}\right|&=\left|-\frac{9}{2}\right|\\
\frac{9}{2}&=\frac{9}{2}\\
\end{align}

となり，確かに成り立ちます。

(ケース3) $x+3 \lt 0$ かつ $x-5 \lt 0$ (つまり $x \lt -3$ のとき)