指数法則(aの0乗,aのマイナス乗まで)

例題1

$a,b$ は $0$ でない実数とします。次の等式の $X_1$ ～ $X_7$ に当てはまる数を答えてください。

(1) $a^3 \times a^5 = a^{X_1}$

(2) $a^4 \div a^2 = a^{X_2}$

(3) $(a^2)^3=a^{X_3}$

(4) $(a^2 b)^3=a^{X_4}b^{X_5}$

(5) $\left( \displaystyle\frac{a}{b} \right) ^4 = \displaystyle\frac{a^{X_6}}{b^{X_7}}$

たとえば $2^4$ は「2の4乗(じょう)」と読み
$2^4=2 \times 2 \times 2 \times 2 (= 16)$ のように
$4$ 個の $2$ の積を表すのでした。
「 $2^4$ 」の $2$ の右上にある小さく書いた $4$ にあたる数を指数と言いますね。
同様に， $a^n$ は $n$ 個の $a$ の積とします。
このことをもとに考えましょう。

例題1の解答

(1) $X_1 =8$
\begin{align}
a^3 \times a^5 &= (a \times a \times a)\times(a \times a \times a \times a \times a)\\
&= a \times a \times a \times a \times a \times a \times a \times a\\
&= a^8
\end{align}

(2) $X_2 =2$
\begin{align}
a^4 \div a^2 = \frac{a \times a \times a \times a}{a \times a} = a^2\\
\end{align}

(3) $X_3 =6$
\begin{align}
(a^2)^3 &= a^2 \times a^2 \times a^2\\
&= a \times a \times a \times a \times a \times a\\
&= a^6
\end{align}

(4) $X_4 =6,X_5=3$
\begin{align}
(a^2 b)^3&=a^2 b \times a^2 b \times a^2 b\\
&=a \times a \times b \times a \times a \times b \times a \times a \times b\\
&=a^6 b^3
\end{align}

(5) $X_6=4,X_7=4$
\begin{align}
\left( \frac{a}{b} \right) ^4 &= \frac{a}{b} \times \frac{a}{b} \times \frac{a}{b} \times \frac{a}{b} \\
&= \frac{a^4}{b^4}
\end{align}

このように，指数の基本の考え方「 $a^n$ は $n$ 個の $a$ の積」に従えば
難しく考えることなく計算できることでしょう。

指数に関して次の式が成り立ちます。

指数法則

　 $a \neq 0,b \neq 0$ とします。また $m,n$ は正の整数で $m \gt n$ とします。このとき，次の関係式が成り立ちます。

(1) $a^m \times a^n = a^{m+n}$

(2) $a^m \div a^n = a^{m-n}$

(3) $(a^m)^n=a^{mn}$

(4) $(ab)^m=a^m b^m$

(5) $\left( \displaystyle\frac{a}{b} \right) ^m = \displaystyle\frac{a^m}{b^m}$

先の例題1の解答が，指数法則の例そのものです。確認してみてください。

ところで，先の指数法則にはあえて $m \gt n$ という条件をつけました。
この条件を外していると，各式はどうなるか，考えてみましょう。

例えば， $m=n$ のときを考えてみましょう。
式(1)については
\begin{align}
a^m \times a^m = a^{m+m} = a^{2m}
\end{align}
式(3)については
\begin{align}
(a^m)^m=a^{m \times m} = a^{(m^2)}
\end{align}
とすれば良さそうです。ところが式(2)については
\begin{align}
a^m \div a^m = a^{m-m} = a^0 \tag{?}
\end{align}

となり， $a^0$ というよくわからないものが現れてしまいました。
指数について「 $a^n$ は $n$ 個の $a$ の積」といいましたが
これになぞらえて「 $a^0$ は $0$ 個の $a$ の積」といってしまうと
1つもかけてないのだから $0$ なのか，それとも他の何かなのかわかりません。

$m=n$ のときは式(2)は成り立たないということにしても良いのですが
しかしながら式(?)の左辺 $a^m \div a^m$ に着目すると
同じ数同士の割り算なので，この値は $1$ ですよね。
\begin{align}
a^m \div a^m = 1
\end{align}

そこで，「 $a^n$ は $n$ 個の $a$ の積」という考え方は一旦置いておいて
$a^0 =1$ と決めることにします。
そうすると， $m=n$ のときも指数法則が成り立つことになります。

更に，上記の指数法則において $m \lt n$ のときも考えてみましょう。
たとえば， $m=2,n=3$ とします。
このとき式(1)，(3)は成り立ちますが，式(2)については
\begin{align}
a^2 \div a^3 = a^{2-3} = a^{-1} \tag{??}
\end{align}
のように， $a^{-1}$ というよくわからないものがまたしても現れてしまいました。

ところがこれも，式(??)の左辺 $a^2 \div a^3$ に着目すれば
\begin{align}
a^2 \div a^3 = \frac{a \times a}{a \times a \times a} = \frac{1}{a}
\end{align}
であることがわかります。

そこで「 $a^{-1}$ は $-1$ 個の $a$ の積」などというのは
変な世界に旅立ってしまいそうなのでやめておいて
\begin{align}
a^{-1} = \frac{1}{a}
\end{align}
と決めることにしましょう。
同じように，
\begin{align}
a^{-2} &= \frac{1}{a^2}\\
a^{-3} &= \frac{1}{a^3}\\
&\vdots \\
a^{-n} &= \frac{1}{a^n}
\end{align}
と決めます。