「相加平均と相乗平均の大小関係」と最大値・最小値を求める問題への応用1

相加平均と相乗平均の大小関係

$a \gt 0，b \gt 0$ とします。このとき次の不等式が成り立ちます。

\begin{align}
\frac{a+b}{2} \geqq \sqrt{ab}
\end{align}

また等号成立条件，つまり $\displaystyle\frac{a+b}{2} = \sqrt{ab}$ となるのは $a=b$ のときです。

不等式の左辺 $\displaystyle\frac{a+b}{2}$ は $2$ 数 $a,b$ の相加平均です。
相加平均は $n$ 個の値の合計を個数 $n$ で割ることで求める，小学校でも習う
いわゆる「平均」です。
一方で不等式の右辺 $\sqrt{ab}$ は $2$ 数 $a,b$ の相乗平均です。

相乗平均が何であるとか，件の不等式の証明はいずれ別に記事を作ることにして
本記事では，高校における数学Ⅱのよく見る問題である
この関係を利用する問題について解説します。

例題1

$x \gt 0$ とします。このとき次の不等式が成り立つことを証明してください。

\begin{align}
x+\frac{1}{x} \geqq 2
\end{align}

例題1の解答

$(左辺)-(右辺) \geqq 0$ を示せば良いです。
\begin{align}
&　　x+\frac{1}{x}-2\\
&=\frac{x^2}{x}+\frac{1}{x}-\frac{2x}{x}\\
&=\frac{x^{2}-2x+1}{x}\\
&=\frac{(x-1)^2}{x}\\
\end{align}

分子について $(x-1)^2 \geqq 0$ ，分母については与えられた条件から $x \gt 0$ なので
$\displaystyle\frac{(x-1)^2}{x} \geqq 0$ です。

$(左辺)-(右辺) \geqq 0$ を示せたので $x+\displaystyle\frac{1}{x}-2 \geqq 0$
すなわち $x+\displaystyle\frac{1}{x} \geqq 2$ が成り立ちます。

不等式 $A \geqq B$ を示すために $A-B \geqq 0$ を示すのはよくある手法です。
しかしこの問題なら，相加平均と相乗平均の大小関係を利用して示すこともできます。
ただし，簡略のため件の不等式 $\displaystyle\frac{a+b}{2} \geqq \sqrt{ab}$ そのままではなく
これの両辺に $2$ をかけた $a+b \geqq 2\sqrt{ab}$ を使います。

例題1の解答(別解)

$x \gt 0$ なので $\displaystyle\frac{1}{x} \gt 0$ です。(定理が成り立つ条件を確認)
相加平均と相乗平均の大小関係により
\begin{align}
x+\frac{1}{x} &\geqq 2 \sqrt{x \cdot \frac{1}{x}}\\
x+\frac{1}{x} &\geqq 2
\end{align}
が成り立ちます。

こうすると，解答がだいぶ短くまとまりました。
不等式 $a+b \geqq 2\sqrt{ab}$ において
$a=x,b=\displaystyle\frac{1}{x}$ とした姿であることに注意してください。
ルートの中身が，約分されて定数になる点がミソです。
また $1$ 行目のように，定理が成り立つ条件を満たしているかを確認することは
とても重要です。

それでは，次にこちらの問題を考えてみましょう。

例題2

$x \gt 0$ とします。このとき，式 $x+\displaystyle\frac{4}{x}$ の最小値を求めてください。

例題2の解答

$x \gt 0$ なので $\displaystyle\frac{4}{x} \gt 0$ です。(定理が成り立つ条件を確認)
相加平均と相乗平均の大小関係により
\begin{align}
x+\frac{4}{x} &\geqq 2 \sqrt{x \cdot \frac{4}{x}}\\
x+\frac{4}{x} &\geqq 4
\end{align}
が成り立ちます。

また等号成立条件は $x=\displaystyle\frac{4}{x}$ のときですから，この方程式を解くと
\begin{align}
x&=\frac{4}{x}\\
x^{2}&=4\\
x &\gt 0 だから\\
x&=2
\end{align}
となります。確かに $x=2$ を代入してみると
\begin{align}
x+\frac{4}{x}=2+\frac{4}{2}=4
\end{align}
となります。
したがって， $x \gt 0$ のとき $x+\displaystyle\frac{4}{x}$ の最小値は $4$ です。

例題2について解説します。

例題2では，例題1と違い等号成立条件を確認しています。
$x+\displaystyle\frac{4}{x} \geqq 4$ を示すだけでは，その最小値が $4$ であることは言えないからです。
(この情報だけでは，もしかしたら $x+\displaystyle\frac{4}{x}$ の最小値は5かもしれません)

$x+\displaystyle\frac{4}{x} \geqq 4$ であることと，式 $x+\displaystyle\frac{4}{x}$ が $4$ という値を取りうることを示して
はじめて $x+\displaystyle\frac{4}{x}$ (ただし $x \gt 0$ ) の最小値は $4$ であると言うことができます。
例題2では， $x+\displaystyle\frac{4}{x}=4$ となる $x$ の値を直接示すことで
このことを保証しています。

以上のように，相加平均と相乗平均の大小関係を利用するときは
定理が成り立つ条件が満たされているか
問題によって，等号成立条件を確認する必要があるか
などの点に注意しましょう。

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