有理化 - ぬうがくブログ

有理化とは
レベル1
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レベル3(高校生向け)
補足

有理化とは

有理化

分母に根号(ルート)を含む分数式を，分母に根号を含まない形に変形する操作を(分母の)有理化といいます。

有理化の操作で使っている性質は
『分数の分母と分子に同じ数をかけてもその分数の値は変わらない』
というあたりまえの性質です。(例えば， $\displaystyle\frac{1}{2}=\frac{2}{4}=\frac{12}{24}$ )
ですから有理化でやることは，いわゆる通分(あるいは約分)です。
その過程で，自分の欲しい形が得られるように仕向けるのです。

レベル1

早速例を挙げましょう。

(例1)
$\displaystyle\frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{1 \times \sqrt{2}}{\sqrt{2} \times \sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$

$a$ が正の実数のとき， $(\sqrt{a})^2 = a$ であることを利用しています。

(例2)
$\displaystyle\frac{1}{\sqrt{27}} = \frac{1}{3 \sqrt{3}} = \frac{1 \times \sqrt{3}}{3 \sqrt{3} \times \sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{9}$

(例3)
$\displaystyle\frac{5}{3 \sqrt{5}} = \frac{5 \times \sqrt{5}}{3 \sqrt{5} \times \sqrt{5}} = \frac{5 \sqrt{5}}{15} = \frac{\sqrt{5}}{3}$

操作の後で約分が発生することもあります。

(例4)
$\displaystyle\frac{5}{3 \sqrt{5}} = \frac{\sqrt{5} \times \sqrt{5}}{3 \sqrt{5}} = \frac{\sqrt{5}}{3}$

(例3)と同じ式ですが，約分が発生することを見越して
最初から約分の形で変形することもできます。
分母がルートを使わない形になりさえすればよいのです。

それでは，さっそく問題です。

例題1

次の各式の $X,Y$ に当てはまる値を求めてください。

(1) $\displaystyle\frac{2}{\sqrt{3}} = \frac{X \sqrt{Y}}{3}$

(2) $\displaystyle\frac{1}{\sqrt{12}} = \frac{\sqrt{X}}{6}$

(3) $\displaystyle\frac{4}{\sqrt{8}} = \sqrt{X}$

(4) $\displaystyle\frac{1}{3 \sqrt{6}} + \frac{1}{\sqrt{6}} = \frac{X \sqrt{Y}}{9}$

例題1の解答

次の各式の $X,Y$ に当てはまる値を求めてください。

(1) $\displaystyle\frac{2}{\sqrt{3}} = \frac{2 \sqrt{3}}{3}$

(2) $\displaystyle\frac{1}{\sqrt{12}} = \frac{\sqrt{3}}{6}$

(3) $\displaystyle\frac{4}{\sqrt{8}} = \sqrt{2}$

(4) $\displaystyle\frac{1}{3 \sqrt{6}} + \frac{1}{\sqrt{6}} = \frac{2 \sqrt{6}}{9}$

レベル2

(例5)
次の式を有理化してみましょう。

$\displaystyle\frac{1}{\sqrt{3}-1}$

試しにこれまでと同じように，分母と同じ数を分母と分子にそれぞれかけてみると

$\displaystyle\frac{1}{\sqrt{3}-1} = \frac{\sqrt{3}-1}{(\sqrt{3}-1)(\sqrt{3}-1)} = \frac{\sqrt{3}-1}{(\sqrt{3})^2 - 2 \sqrt{3} + 1} = \frac{\sqrt{3}-1}{4 - 2 \sqrt{3}}$

このように分母にルートが残ってしまい，うまくいきません。

ここはあえて $\sqrt{3}+1$ を分母と分子にかけてやります。そうすると

$\displaystyle\frac{1}{\sqrt{3}-1} = \frac{\sqrt{3}+1}{(\sqrt{3}-1)(\sqrt{3}+1)} = \frac{\sqrt{3}+1}{(\sqrt{3})^2 - 1} = \frac{\sqrt{3}+1}{2}$

となり，有理化できました。

ここでは，式 $(x+y)(x-y)=x^2 - xy + yx - y^2 = x^2 - y^2$ を利用しています。

(例6)
\begin{align}
\frac{1}{1+\sqrt{2}+\sqrt{3}} &= \frac{1+\sqrt{2}-\sqrt{3}}{((1+\sqrt{2})+\sqrt{3})((1+\sqrt{2})-\sqrt{3})}\\
&= \frac{1+\sqrt{2}-\sqrt{3}}{(1+\sqrt{2})^2-(\sqrt{3})^2}\\
&= \frac{1+\sqrt{2}-\sqrt{3}}{1+2 \sqrt{2} + 2 -3}\\
&= \frac{1+\sqrt{2}-\sqrt{3}}{2 \sqrt{2}}\\
\\
&(ここで一呼吸)\\
\\
&= \frac{(1+\sqrt{2}-\sqrt{3}) \times \sqrt{2} }{2 \sqrt{2} \times \sqrt{2}}\\
&= \frac{\sqrt{2} (1+\sqrt{2}-\sqrt{3})}{4}
\end{align}

このように，2回操作をすれば有理化できます。
$(1+\sqrt{2})$ をひとつの数とみなして計算するのがポイントです。

例題2

次の各式を有理化してください。

(1) $\displaystyle\frac{1}{\sqrt{3}-\sqrt{2}}$

(2) $\displaystyle\frac{1}{\sqrt{2}+\sqrt{3}+\sqrt{5}}$

例題2の解答

(1) $\displaystyle\frac{1}{\sqrt{3}-\sqrt{2}} = \sqrt{3}+\sqrt{2}$

(2) $\displaystyle\frac{1}{\sqrt{2}+\sqrt{3}+\sqrt{5}} =\frac{\sqrt{6}(\sqrt{2}+\sqrt{3}-\sqrt{5})}{12}$

レベル3(高校生向け)

(例7)
$\displaystyle\frac{1}{\sqrt[3]{2}}=\frac{\sqrt[3]{2} \times \sqrt[3]{2}}{\sqrt[3]{2} \times \sqrt[3]{2} \times \sqrt[3]{2}}=\frac{\sqrt[3]{4}}{2}$

$\sqrt[3]{2}$ は $3$ 乗しないと $2$ になりませんから
$\sqrt[3]{2}$ を分母と分子にそれぞれ2回かける必要があります。

(例8)
$\displaystyle\frac{1}{\sqrt[3]{5}+1} = \frac{(\sqrt[3]{5})^2-\sqrt[3]{5}+1}{(\sqrt[3]{5}+1)((\sqrt[3]{5})^2-\sqrt[3]{5}+1)} = \frac{\sqrt[3]{25}-\sqrt[3]{5}+1}{(\sqrt[3]{5})^3 -1} = \frac{\sqrt[3]{25}-\sqrt[3]{5}+1}{4}$