2022-03-06

有理化

有理化累乗根

有理化とは
レベル1
レベル2
レベル3(高校生向け)
補足

有理化とは

有理化

分母に根号(ルート)を含む分数式を，分母に根号を含まない形に変形する操作を(分母の)有理化といいます。

有理化の操作で使っている性質は
『分数の分母と分子に同じ数をかけてもその分数の値は変わらない』
というあたりまえの性質です。(例えば， $\displaystyle\frac{1}{2}=\frac{2}{4}=\frac{12}{24}$ )
ですから有理化でやることは，いわゆる通分(あるいは約分)です。
その過程で，自分の欲しい形が得られるように仕向けるのです。

レベル1

早速例を挙げましょう。

(例1)
$\displaystyle\frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{1 \times \sqrt{2}}{\sqrt{2} \times \sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$

$a$ が正の実数のとき， $(\sqrt{a})^2 = a$ であることを利用しています。

(例2)
$\displaystyle\frac{1}{\sqrt{27}} = \frac{1}{3 \sqrt{3}} = \frac{1 \times \sqrt{3}}{3 \sqrt{3} \times \sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{9}$

(例3)
$\displaystyle\frac{5}{3 \sqrt{5}} = \frac{5 \times \sqrt{5}}{3 \sqrt{5} \times \sqrt{5}} = \frac{5 \sqrt{5}}{15} = \frac{\sqrt{5}}{3}$

操作の後で約分が発生することもあります。

(例4)
$\displaystyle\frac{5}{3 \sqrt{5}} = \frac{\sqrt{5} \times \sqrt{5}}{3 \sqrt{5}} = \frac{\sqrt{5}}{3}$

(例3)と同じ式ですが，約分が発生することを見越して
最初から約分の形で変形することもできます。
分母がルートを使わない形になりさえすればよいのです。

それでは，さっそく問題です。

例題1

次の各式の $X,Y$ に当てはまる値を求めてください。

(1) $\displaystyle\frac{2}{\sqrt{3}} = \frac{X \sqrt{Y}}{3}$

(2) $\displaystyle\frac{1}{\sqrt{12}} = \frac{\sqrt{X}}{6}$

(3) $\displaystyle\frac{4}{\sqrt{8}} = \sqrt{X}$

(4) $\displaystyle\frac{1}{3 \sqrt{6}} + \frac{1}{\sqrt{6}} = \frac{X \sqrt{Y}}{9}$

2022-02-18

累乗根と指数法則(有理数の指数まで)

指数累乗根

本記事を読むにあたって，こちらの記事も参考にしてください。

shibiremath.hatenablog.com

累乗根の性質

$a \gt 0,b \gt 0$ ， $m,n,p$ は正の整数とします。累乗根 $\sqrt[n]{a}$ について，次の性質が成り立ちます。

(1) $\sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b} = \sqrt[n]{ab}$

(2) $\displaystyle\frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}}=\sqrt[n]{\displaystyle\frac{a}{b}}$

(3) $(\sqrt[n]{a})^m = \sqrt[n]{a^m}$

(4) $\sqrt[m]{\sqrt[n]{a}}=\sqrt[mn]{a}$

(5) $\sqrt[np]{a^{mp}}=\sqrt[n]{a^m}$

それぞれ一つずつ確認していきましょう。

(1) $\sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b} = \sqrt[n]{ab}$ について

　 $(\sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b})^n=(\sqrt[n]{a})^n \cdot (\sqrt[n]{b})^n = ab$ ですが
　 $x^n = ab$ となる $x$ を $\sqrt[n]{ab}$ と表すのですから
　 $\sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b} = \sqrt[n]{ab}$ が言えます。

　(例1): $\sqrt[3]{2} \cdot \sqrt[3]{5} = \sqrt[3]{10}$

(2) $\displaystyle\frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}}=\sqrt[n]{\displaystyle\frac{a}{b}}$ について

　 $\displaystyle\left(\frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}}\right)^n = \displaystyle\frac{(\sqrt[n]{a})^n}{(\sqrt[n]{b})^n} = \displaystyle\frac{a}{b}$ ですが
　 $x^n=\displaystyle\frac{a}{b}$ となる $x$ を $\sqrt[n]{\displaystyle\frac{a}{b}}$ と表すのですから
　 $\displaystyle\frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}}=\sqrt[n]{\displaystyle\frac{a}{b}}$ が言えます。

　(例2): $\displaystyle\frac{\sqrt[5]{2}}{\sqrt[5]{7}} = \sqrt[5]{\displaystyle\frac{2}{7}}$

(3) $(\sqrt[n]{a})^m = \sqrt[n]{a^m}$ について

　 $((\sqrt[n]{a})^m)^n = (\sqrt[n]{a})^{mn} = (\sqrt[n]{a})^{nm} = ((\sqrt[n]{a})^n)^m = a^m$ ですが
　 $x^n = a^m$ となる $x$ を $\sqrt[n]{a^m}$ と表すのですから
　 $(\sqrt[n]{a})^m = \sqrt[n]{a^m}$ が言えます。

　(例3): $(\sqrt[4]{2})^3 = \sqrt[4]{2^3}$

(4) $\sqrt[m]{\sqrt[n]{a}}=\sqrt[mn]{a}$ について

　 $(\sqrt[m]{\sqrt[n]{a}})^{mn} = (\sqrt[n]{a})^n = a$ ですが
　 $x^{mn} = a$ となる $x$ を $\sqrt[mn]{a}$ と表すのですから
　 $\sqrt[m]{\sqrt[n]{a}}=\sqrt[mn]{a}$ が言えます。

　(例4): $\sqrt{\sqrt[5]{2}} = \sqrt[10]{2}$

(5) $\sqrt[np]{a^{mp}}=\sqrt[n]{a^m}$ について

　 $\sqrt[np]{a^{mp}} \gt 0$ ， $\sqrt[n]{a^m} \gt 0$ で
　 $(\sqrt[np]{a^{mp}})^{np} = a^{mp}$ であり
　 $(\sqrt[n]{a^m})^{np} = (a^m)^p = a^{mp}$ ですから
　 $\sqrt[np]{a^{mp}}=\sqrt[n]{a^m}$ が言えます。

　(例5): $\sqrt[10]{3^6} = \sqrt[5]{3^3}$

例題1

次の各式の $X$ に当てはまる値を求めてください。

(1) $\sqrt[5]{3} \cdot \sqrt[5]{7} = \sqrt[5]{X}$

(2) $\displaystyle\frac{\sqrt[3]{4}}{\sqrt[3]{8}} = \sqrt[3]{X}$

(3) $(\sqrt[5]{3})^4 = \sqrt[5]{X}$

(4) $\sqrt[X]{\sqrt{3}} = \sqrt[12]{3}$

(5) $\sqrt[9]{X} = \sqrt[3]{6}$

(6) $(\sqrt[7]{3})^8 = X \cdot \sqrt[7]{3}$

2022-01-15

累乗根と指数

指数累乗根

本記事と合わせてこちらの記事も参考にしてください。

shibiremath.hatenablog.com

突然ですが，クイズです。

クイズ【平方根と指数】

$\sqrt{2}$ は，指数を使って表記できます。
つまり， $\sqrt{2}=2^X$ と表記でき，そのような数 $X$ が存在します。
この $X$ に当てはまる数はなんでしょう？考えてみてください。

↓この下の部分をドラッグすると，ヒントが読めます。

ヒント①:指数法則が成り立つとして考えてみてください。
ヒント②: $\sqrt{2}$ はどのような性質を持つ数でしょうか。その性質を，式で表記してみてください。

2021-12-20

累乗根

累乗根指数

累乗根

$a$ を実数， $n$ を自然数とします。
$2$ 乗して $a$ になる実数を， $a$ の $2$ 乗根といいます。これと同様に，
$n$ 乗して $a$ になる実数を， $a$ の $n$ 乗根といいます。
$2$ 乗根， $3$ 乗根， $4$ 乗根， $\cdots$ をまとめて累乗根といいます。
$2$ 乗根は平方根， $3$ 乗根は立方根とも言います( $2$ 乗根に関しては，平方根と呼ぶことが多いです)。

例を考えてみましょう。

(例1)
$3^2 = 9$ なので， $3$ は $9$ の平方根です。
また $(-3)^2 = 9$ なので， $-3$ も $9$ の平方根です。

(例2)
$2^3 = 8$ なので， $2$ は $8$ の $3$ 乗根(立方根)です。

(例3)
$(-2)^3 = -8$ なので， $-2$ は $-8$ の $3$ 乗根(立方根)です。

同じように， $4$ 乗根や $5$ 乗根の例も考えてみてください。

例題1

次の値を答えてください。答えが複数あるものは，全て答えてください。

(1) $36$ の平方根

(2) $10000$ の $4$ 乗根

(3) $-32$ の $5$ 乗根

(4) $\displaystyle\frac{1}{125}$ の $3$ 乗根

(5) $0.216$ の $3$ 乗根

お手元の紙などに書いて確かめながら考えてみてください。

2021-11-14

指数法則(aの0乗,aのマイナス乗まで)

指数

例題1

$a,b$ は $0$ でない実数とします。次の等式の $X_1$ ～ $X_7$ に当てはまる数を答えてください。

(1) $a^3 \times a^5 = a^{X_1}$

(2) $a^4 \div a^2 = a^{X_2}$

(3) $(a^2)^3=a^{X_3}$

(4) $(a^2 b)^3=a^{X_4}b^{X_5}$

(5) $\left( \displaystyle\frac{a}{b} \right) ^4 = \displaystyle\frac{a^{X_6}}{b^{X_7}}$

たとえば $2^4$ は「2の4乗(じょう)」と読み
$2^4=2 \times 2 \times 2 \times 2 (= 16)$ のように
$4$ 個の $2$ の積を表すのでした。
「 $2^4$ 」の $2$ の右上にある小さく書いた $4$ にあたる数を指数と言いますね。
同様に， $a^n$ は $n$ 個の $a$ の積とします。
このことをもとに考えましょう。